viernes, 16 de octubre de 2009

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

PRODUCTOS NOTABLES
Cuando se manejan repetidamente expresiones algebraicas es muy conveniente aprender algunos productos que aparecen con frecuencia y que facilitan las operaciones; entre los mas importantes se encuentran,
Cuadrado de un binomio: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Cubo de un binomio: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomios conjugados: (a+b)(a—b) = a2 - b2
Binomios con término común: (x+b)(x+d) = X2 + (b+d)X + bd
Binomios con término semejante: (ax+b)(cx+d) = acX2 + (ad + bc)x + bd
Producto de la forma: (a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
Ejemplo: Efectuar las operaciones usando productos notables
a. (3x — 2y2 )3 = (3x)3 - 3(3x)2(—2y2) + 3(3x)(—2y2)2 +(—2y2)3
= 27x3 — 3(9x2)(—2y2) + 3(3x)(2y4) - 8y6
= 27x3 +54x2y2 + 38xy4 — 8y6
b. (6x — 2y)(6x + y3) = (6x)2 - (2Y3)2
= 36x2 - 4y6
c. (5x + 3)(2x — 6) = 10x2 + (—30+6)x — 18
= 10x2 — 24x — 18
FACTORIZACION
Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes. Por ejemplo : Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones. Como por ejemplo : Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y) Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y) De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo: 9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2) 121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9) 64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2) 9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8) 125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)}
TIPOS DE FACTORIZACION Y SUS EJEMPLOS
Factorar un Monomio:En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término15ab = 3 * 5 a b➁ Factor Común Monomio:En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términosComo puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor comúna² + 2a = a ( a + 2 )➂ Factor Común Polinomio:x [ a + b ] + m [ a + b ]En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomiox [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )➃ Factor Común por Agrupación de Términos:En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparloax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by]Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomiox(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino Factorar: m² + 6m + 9m² + 6m + 9 ↓…………..↓m..............3➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término[ m ] y [ 3 ] ➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado(m + 3)² Nota: Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² ➌ Ahora aplica la Regla del TCP(m + 3)² El Cuadrado del 1er Termino = m²[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 ➍ Junta los Términosm² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)a² - b² = (a - b) (a + b)4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:Factorar (a + b)² - c²(a + b)² - c² Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis (a + b + c) (a + b – c)➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + cFactorar x² + 7x + 12➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio (x.......) (x.......)➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 124 + 3 = 74 x 3 = 12➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis(x + 4)(x + 3)Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3) ➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + cFactorar 6x² - x – 2 = 0Pasos: ➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación6x² - x – 236x² - [ 6 ] x – 12➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente(6x.......) (6x.......)➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ] - 4 + 3 = - 1[ - 4] [ 3 ] = - 12➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis(6x - 4) (6x - 3)➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³Suma de Cubos:============a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ] Diferencia de Cubos:==============a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ] .

lunes, 21 de septiembre de 2009

LEYES DE LOS EXPONENTES

Exponente, término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma. Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión, como x2, leído “x al cuadrado” y que representa x · x; (x + y)3, se lee “x + y al cubo” y significa (x + y) (x + y) (x + y); y sen4x, que se lee “seno de x a la cuarta potencia” y que expresa que el seno de x debe multiplicarse por sí mismo cuatro veces. En los cálculos, los exponentes siguen ciertas reglas llamadas leyes de los exponentes. Es decir, si m y n son enteros positivos,
Xn =n= Exponente, X= Base
Primera Ley: Si multiplicamos potencias de la misma base, se escribe la base y los exponentes se suman.Ejemplos:
102 • 103 = 105

Formula Primera Ley
Xn • Xm= Xn+m
101/2 • 102/3 = 107/61/2 + 2/3 = 3+4/6 = 7/6

Segunda Ley: Si dividimos potencias de la misma base, se escribe la base y los exponentes se restan.
Ejemplos:
Formula Primera Ley
103/10 = 103-1 = 102

Formula Segunda Ley
Xn / Xm= Xn-m
101/2 • 105/3 = 10-7/61/2 – 5/3 = 3+10/6 = -7/6

Tercera Ley: Si elevamos una potencia a otra, se escribe la base y los exponentes se multiplican
Ejemplos:
(102)3 = 106

Formula Tercera Ley(Xm)n = Xn • m
(a1/3)/3 = a1/3 – 3/1 = 3/3 = 1
* el 1 no se escribe y queda como a

Cuarta Ley: Para extraer raíz enésima a una potencia, se coloca la base y se coloca por exponente la división o cociente de el exponente de la potencia entre el indice del radical.
Ejemplos
√106 = 106/12= 103

Formula Cuarta Ley
n √xm = Xm / n
3√ 27 6 = 3x2
3•3•3 = 27
* el 1 no se escribe y queda como a

Para extraer raíz enésima o elevar a una potencia enésima un número racional se opera por separado el numerador del denominador.
Ejemplos
(2/3)2 = 22/32= 4/9

Formula
(a/b)2 = a2/ b2
3√27/8 = 3√27 / 3 √8 =3/2

miércoles, 16 de septiembre de 2009

ejercicios de matematicas

hola!! ayer le envie mi tarea pero me equivoque en el ejercicio 3 y poner las identidades de cada ejercicio.
3.- [3+4-(-7)] - [(5+4)- (-5)]

[7+(7)] - [9+5]

[(14)] - [(14)] = 0

ejercicio Nº 1
enteros e identidad de cerradura

ejercicio N º 2
naturales e identidad de cerradura

ejercicio Nº 3
Enteros e identidad asosiativa

ejercicio Nº 4
Naturales e identidad de cerradura

martes, 15 de septiembre de 2009

ejercicios de matematicas

1.- [ (5-8) + 3] - [4+(8-15)]
[ (-3) + 3] - [ 4+ (-7)]
[o] - [-3] = 3
2.-[(-2)+ (-4+5)] + [(5+4)-(6)]
[(-2)+(1)] + [(9)- (6)]
[-1] + [3]= 2
3.-[3+4-(-7)] - [(5+4) - (-5)]
[7+(7)]-[9+5]
[(14)]- [(13)]= 1
4.-[(7+8-4) + (-13)] +[(5) - (11)]
[(11)] - [(13)]
[-2] - [-6] =4

ejercicios de matematicas

1.- [(5-8)+3] - [4+(8-15)] 4.- [ ( 7+8-4)+ (-13)] + [(9-4)-(6+5)]

[(-3)+3] - [4+(-7) ] [(15-4) + (-13)] + [(5) - (11)]

[ 0] - [ -3] = 3 [ (11) - ( 13)]

2.- [(-2) + (-4+5)] + [(5+4) - ( -2+8)] [-2] - [-6] = 4

[ (-2) + (1)] + [ (9) - (6)]

[ -1] + [ 3]= 2


3.- [ 3+4 - (-7)] - [(5+4) - (-5)]

[7+ (7)] - [ 9+5]

[ (14)] - [(13)] = 1

jueves, 10 de septiembre de 2009

propiedades de los numeros naturales

¿Que son los Numeros Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adicion de Numeros Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Division de Numeros Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a