viernes, 16 de octubre de 2009

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

PRODUCTOS NOTABLES
Cuando se manejan repetidamente expresiones algebraicas es muy conveniente aprender algunos productos que aparecen con frecuencia y que facilitan las operaciones; entre los mas importantes se encuentran,
Cuadrado de un binomio: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Cubo de un binomio: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomios conjugados: (a+b)(a—b) = a2 - b2
Binomios con término común: (x+b)(x+d) = X2 + (b+d)X + bd
Binomios con término semejante: (ax+b)(cx+d) = acX2 + (ad + bc)x + bd
Producto de la forma: (a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
Ejemplo: Efectuar las operaciones usando productos notables
a. (3x — 2y2 )3 = (3x)3 - 3(3x)2(—2y2) + 3(3x)(—2y2)2 +(—2y2)3
= 27x3 — 3(9x2)(—2y2) + 3(3x)(2y4) - 8y6
= 27x3 +54x2y2 + 38xy4 — 8y6
b. (6x — 2y)(6x + y3) = (6x)2 - (2Y3)2
= 36x2 - 4y6
c. (5x + 3)(2x — 6) = 10x2 + (—30+6)x — 18
= 10x2 — 24x — 18
FACTORIZACION
Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes. Por ejemplo : Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones. Como por ejemplo : Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y) Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y) De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo: 9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2) 121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9) 64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2) 9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8) 125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)}
TIPOS DE FACTORIZACION Y SUS EJEMPLOS
Factorar un Monomio:En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término15ab = 3 * 5 a b➁ Factor Común Monomio:En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términosComo puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor comúna² + 2a = a ( a + 2 )➂ Factor Común Polinomio:x [ a + b ] + m [ a + b ]En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomiox [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )➃ Factor Común por Agrupación de Términos:En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparloax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by]Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomiox(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino Factorar: m² + 6m + 9m² + 6m + 9 ↓…………..↓m..............3➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término[ m ] y [ 3 ] ➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado(m + 3)² Nota: Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² ➌ Ahora aplica la Regla del TCP(m + 3)² El Cuadrado del 1er Termino = m²[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 ➍ Junta los Términosm² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)a² - b² = (a - b) (a + b)4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:Factorar (a + b)² - c²(a + b)² - c² Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis (a + b + c) (a + b – c)➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + cFactorar x² + 7x + 12➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio (x.......) (x.......)➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 124 + 3 = 74 x 3 = 12➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis(x + 4)(x + 3)Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3) ➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + cFactorar 6x² - x – 2 = 0Pasos: ➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación6x² - x – 236x² - [ 6 ] x – 12➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente(6x.......) (6x.......)➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ] - 4 + 3 = - 1[ - 4] [ 3 ] = - 12➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis(6x - 4) (6x - 3)➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³Suma de Cubos:============a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ] Diferencia de Cubos:==============a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ] .

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